人教版小学六年级上册数学知识点【各单元】

#六年级# 导语尽快地掌握科学知识，迅速提高学习能力, 为大家准备了人教版小学六年级上册数学知识点各单元 ，希望对大家有所帮助！

分数乘法

　一、分数乘法

　(一) 、分数乘法的计算法则：

　1
、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子
，分母不变。(整数和分母约分)

　2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母 。

　3 、为了计算简便 ，能约分的要先约分，再计算
。

　注意：当带分数进行乘法计算时
，要先把带分数化成假分数再进行计算。

　(二)、规律：(乘法中比较大小时)

　一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数 。

　一个数(0除外)乘小于1的数(0除外) ，积小于这个数。

　一个数(0除外)乘1
，积等于这个数
。

　(三)
、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

　(四)、整数乘法的交换律 、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用 。

　乘法交换律：a×b=b×a

　乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

　乘法分配律：(a+b)×c=ac+bcac+bc=(a+b)×c

　二
、分数乘法的解决问题

　(已知单位“1 ”的量(用乘法) ，求单位“1
”的几分之几是多少)

　1、找单位“1”：在分率句中分率的前面;或“占 ” 、“是”
、“比
”的后面

　2、求一个数的几倍：一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少：一个数×
。

　3 、写数量关系式技巧：

　(1)“的”相当于“× ”“占
”
、“是”、“比 ”相当于“=
”

　(2)分率前是“的”：单位“1 ”的量×分率=分率对应量

　(3)分率前是“多或少
”的意思：单位“1”的量×(1分率)=分率对应量

分数除法

　一 、分数除法

　1
、分数除法的意义：

　分数除法与整数除法的意义相同
，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

　2、分数除法的计算法则：除以一个不为0的数 ，等于乘这个数的倒数 。

　3 、规律(分数除法比较大小时)：(1)、当除数大于1
，商小于被除数;

　(2)
、当除数小于1(不等于0)，商大于被除数;(3)、当除数等于1 ，商等于被除数
。

　4 、“ ”叫做中括号。一个算式里
，如果既有小括号，又有中括号 ，要先算小括号里面的，再算中括号里面的 。

　二
、分数除法解决问题

　(未知单位“1
”的量(用除法)：已知单位“1”的几分之几是多少
，求单位“1 ”的量
。)

　1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

　(1)分率前是“的”：单位“1
”的量×分率=分率对应量

　(2)分率前是“多或少”的意思：单位“1 ”的量×(1分率)=分率对应量

　2 、解法：(建议：用方程解答)

　(1)方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

　(2)算术(用除法)：分率对应量÷对应分率=单位“1
”的量

　3
、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数÷另一个数

　4、求一个数比另一个数多(少)几分之几：

　①求多几分之几：大数÷小数–1②求少几分之几：1-小数÷大数

　或①求多几分之几(大数-小数)÷小数②求少几分之几：(大数-小数)÷大数

　针对练习：

　1 、果园里有桃树560棵 ，占果树总数的1/2
，果园里一共有果树多少棵?

　2
、一条裤子75元，是一件上衣价格的1/2 ，一件上衣多少钱?

　3、一个修路队修一条路
，第一天修了全长1/2，正好是160米 ，这条路全长是多少米?

　4 、幼儿园买来2千克水果糖
，是买来的牛奶糖的1/2，买来牛奶糖多少千克?

　5
、新风小学去年植树320棵 ，相当于今年植树棵数的1/2
，今年去年共植树多棵?

　6、一桶水，用去它的1/2 ，正好是15千克，这桶水重多少千克?

　7 、王新买了一本书和一枝钢笔
，书的价格是4元，正好是钢笔价格的1/2 ，钢笔价格是多少元?

　7、一种小汽车的最快速度是每小时行140千米
，相当于一种超音速飞机速度的1/2，这种超音速飞机每小时飞行多少千米?

比和比的应用

(一)
、比的意义

　1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比 。

　2 、在两个数的比中 ，比号前面的数叫做比的前项
，比号后面的数叫做比的后项
。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

　例如15：10=15÷10=(比值通常用分数表示 ，也可以用小数或整数表示)

　∶∶∶∶

　前项比号后项比值

　3
、比可以表示两个相同量的关系
，即倍数关系 。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程÷速度=时间
。

　4、区分比和比值

　比：表示两个数的关系 ，可以写成比的形式
，也可以用分数表示。

　比值：相当于商，是一个数 ，可以是整数，分数
，也可以是小数 。

　5 、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式
。

　6
、比和除法、分数的联系：

　比前项比号“：”后项比值

　除法被除数除号“÷ ”除数商

　分数分子分数线“—
”分母分数值

　7 、比和除法
、分数的区别：除法是一种运算 ，分数是一个数
，比表示两个数的关系。

　8、根据比与除法 、分数的关系，可以理解比的后项不能为0 。

　体育比赛中出现两队的分是2：0等 ，这只是一种记分的形式
，不表示两个数相除的关系
。

　(二)
、比的基本性质

　1、根据比 、除法、分数的关系：

　商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。

　分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外) ，分数值不变 。

　比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)
，比值不变
。

　2
、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数 ，这样的比就是最简整数比。

　3、根据比的基本性质
，可以把比化成最简单的整数比 。

　4.化简比：

　①用比的前项和后项同时除以它们的公因数
。

　(1)②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。

　③两个小数的比：向右移动小数点的位置 ，先化成整数比再化简 。

　(2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式
。

　如：15∶10=15÷10==3∶2

　5.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配 。

　如：已知两个量之比为，则设这两个量分别为
。

　6 、路程一定
，速度比和时间比成反比。(如：路程相同，速度比是4：5 ，时间比则为5：4)

　工作总量一定
，工作效率和工作时间成反比 。

　(如：工作总量相同，工作时间比是3：2 ，工作效率比则是2：3)

圆柱与圆锥

　一
、圆柱的特征：

　1、圆柱的两个圆面叫做底面
，周围的面叫做侧面，底面是平面 ，侧面是曲面
，
。

　2 、圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做高。圆柱的高有无数条 。

　3
、圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面沿高展开后是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长 ，长方形的宽等于圆柱的高
，当底面周长和高相等时，侧面沿高展开后是一个正方形
。

　4、圆柱的侧面积=底面周长×高即S侧=Ch或2πr×h

　5 、圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2即S表=S侧+S底×2或2πr×h+2×πr2

　6
、圆柱的体积=圆柱的底面积×高 ，即V=sh或πr2×h

　7、将一张长方形围成圆柱有两种方法，将一张长方形进行旋转一般也有两种。

　(进一法：实际中
，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此 ，要保留数的时候
，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1 。这种取近似值的方法叫做进一法
。)

　二 、圆锥的特征：

　1
、圆锥只有一个底面 ，底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面 。

　2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高
。(测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平
，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。)

　3 、把圆锥的侧面展开得到一个扇形 。4、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一 ，即V锥=Sh或V锥=πr2×h

　5
、常见的圆柱圆锥解决问题：①、压路机压过路面面积(求侧面积);② 、压路机压过路面长度(求底面周长);③
、水桶铁皮(求侧面积和一个底面积);④、厨师帽(求侧面积和一个底面积);通风管(求侧面积)
。

　6 、圆柱和圆锥的特征

　圆柱圆锥

　底面两个底面完全相同
，都是圆形。一个底面，是圆形 。

　侧面曲面 ，沿高剪开
，展开后是长方形
。曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开 ，展开后是扇形。

　高两个底面之间的距离，有无数条 。顶点到底面圆心的距离
，只有一条
。

　针对练习：

　1
、圆柱形队鼓的侧面由铝皮围成，上、下底面蒙的是羊皮。队鼓的底面直径是6分米 ，高是2.6分米 。做一个这样的队鼓
，至少需要铝皮多少平方分米?羊皮呢?

　2 、一个圆柱形的油桶，底面直径是0.6米 ，高是1米
。做一个这样的油桶至少需要多少平方米铁皮?(得数保留两位小数)

　3.做一根长2米
、管口直径0.15米的白铁皮通风管
，至少需要白铁皮多少平方米?

　4.一个圆柱形的灯笼，底面直径是24厘米 ，高是30厘米。在灯笼的下底和侧面糊上彩纸
，至少要多少平方厘米的彩纸?

圆

　一、认识圆

　1 、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形 。

　2
、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点 ，这一点叫做圆心。一般用字母O表示
。它到圆上任意一点的距离都相等.

　3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示 。把圆规两脚分开
，两脚之间的距离就是圆的半径
。

　4 、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示 。直径是一个圆内最长的线段
。

　5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

　6
、在同圆或等圆内 ，有无数条半径，有无数条直径 。所有的半径都相等
，所有的直径都相等
。

　7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍 ，半径的长度是直径的。用字母表示为：d=2r或r=

　8、轴对称图形：

　如果一个图形沿着一条直线对折
，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形 。折痕所在的这条直线叫做对称轴
。(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)

　9 、长方形
、正方形和圆都是对称图形 ，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形 。

　10、只有1一条对称轴的图形有：角 、等腰三角形
、等腰梯形、扇形 、半圆。

　只有2条对称轴的图形是：长方形

　只有3条对称轴的图形是：等边三角形

　只有4条对称轴的图形是：正方形;

　有无数条对称轴的图形是：圆
、圆环
。

　二、圆的周长

　1 、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示 。

　2
、圆周率实验：

　在圆形纸片上做个记号
，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周 ，求出圆的周长
。

　发现一般规律
，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。

　3.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率 。

　用字母π(pai)表示
。

　(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些 ，这个比值是一个固定的数。

　圆周率π是一个无限不循环小数 。在计算时
，一般取π≈3.14
。

　(2) 、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍 ，而不是3.14倍。

　(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之 。

　4
、圆的周长公式：C=πdd=C÷π

　或C=2πrr=C÷2π

　5、在一个正方形里画一个的圆，圆的直径等于正方形的边长
。

　在一个长方形里画一个的圆
，圆的直径等于长方形的宽。

　6 、区分周长的一半和半圆的周长：

　(1)周长的一半：等于圆的周长÷2计算方法：2πr÷2即πr

　(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径 。计算方法：πr+2r

百分数

　一
、百分数的意义和写法

　1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。

　百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比
。

　2 、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。

　3
、百分数和分数的主要联系与区别：

　(1)联系：都可以表示两个量的倍比关系 。

　(2)区别：

　①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系 ，不能表示具体的数量
，所以不能带单位;

　分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系 ，表示具本数时可以带单位
。

　② 、百分数的分子可以是整数
，也可以是小数;

　分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。

　4
、百分数的写法：通常不写成分数形式 ，而在原来分子后面加上“%”来表示 。

　二、百分数和分数 、小数的互化

　(一)百分数与小数的互化：

　1
、小数化成百分数：把小数点向右移动两位
，同时在后面添上百分号
。

　2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。

　(二)百分数的和分数的互化

　1、百分数化成分数：

　先把百分数化成分数 ，先把百分数改写成分母是否100的分数
，能约分要约成最简分数 。

　2 、分数化成百分数：

　①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数 ，再写成百分数形式
。

　②先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)
，再把小数化成百分数。

　(三)常见的分数与小数、百分数之间的互化

　=0.5=50% =0.2=20% =0.625=62.5%

　=0.25=25% =0.4=40% =0.125=12.5%

　=0.75=75% =0.6=60% =1.375=37.5%

　=0.0625=6.25% =0.8=80% =0.875=87.5%

　=0.04=4﹪ =0.08=8﹪= 0.12=12﹪ =0.16=16﹪

　三
、用百分数解决问题

　(一)一般应用题

　1、常见的百分率的计算方法：

　①合格率=②发芽率=

　③出勤率=④达标率=

　⑤成活率=⑥出粉率=

　⑦烘干率=⑧含水率=

　一般来讲，出勤率 、成活率
、合格率、正确率能达到100% ，出米率 、出油率达不到100%
，完成率
、增长了百分之几等可以超过100% 。(一般出粉率在70、80%，出油率在30 、40%
。)

　2
、已知单位“1 ”的量(用乘法) ，求单位“1
”的百分之几是多少的问题：

　数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

　(1)分率前是“的”：单位“1 ”的量×分率=分率对应量

　(2)分率前是“多或少
”的意思：单位“1”的量×(1分率)=分率对应量

　3、未知单位“1 ”的量(用除法)
，已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1
”。

　解法：(建议：用方程解答)

　(1)方程：根据数量关系式设未知量为X ，用方程解答 。

　(2)算术(用除法)：分率对应量÷对应分率=单位“1”的量

　4 、求一个数比另一个数多(少)百分之几的问题：

　两个数的相差量÷单位“1 ”的量×100%或：

　①求多百分之几：(大数-小数)÷小数

　②求少百分之几：(大数-小数)÷大数

　(二)
、折扣

　1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售
，叫做折扣。通称“打折
”
。

　几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折==80﹪,六折五=0.65=65﹪

　2 、一成是十分之一 ，也就是10% 。三成五就是十分之三点五
，也就是35%

　(三)、纳税

　1
、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家
。

　2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济 、科技
、教育、文化和国防安全等事业 。

　3 、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额
。

　4
、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

　5、应纳税额的计算方法：应纳税额=总收入×税率

　(四)利息

　1 、存款分为活期
、整存整取和零存整取等方法 。

　2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社 ，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设
，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入
。

　3 、本金：存入银行的钱叫做本金。

　4
、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息 。

　5、利率：利息与本金的比值叫做利率
。

　6 、利息的计算公式：利息=本金×利率×时间

　7、注意：如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税) ，则：

　税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)

扇形统计图

一
、扇形统计图的意义：

　用整个圆的面积表示总数
，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。

　也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图) 。

　二、常用统计图的优点：

　1 、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。

　2
、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况
。

　3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。

　三 、扇形的面积大小：

　在同一个圆中 ，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关
，圆心角越大，扇形越大 。(因此扇形面积占圆面积的百分比 ，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比
。)

　针对练习：

　一
、我国国土总面积是960万平方千米。下面是我国地形分布情况统计图
，请根据统计图回答问题 。

　1、我国山地面积占总面积的百分之几?

　2 、各类地形中，什么地形面积?什么最小?

　3
、你还能得到哪些信息?

　4、请算出各类地形的实际面积 ，填入下表
。

　地形种类山地丘陵高原盆地平原

　面积(万平方千米)

　二 、小军家2012年11月支出情况统计如下图。聪聪家2012年11月的总支出是3600元 。请你回答问题
。

　1
、这个月哪项出最多?支出了多少元?

　2、文化教育支出了多少元?购买衣物支出了多少元?

　3 、购买衣物的支出比文化教育支出少百分之几?

　4、你还能提出什么问题?并解决你所提出的问题?

第一单元 圆

圆概念总结

1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。

2．将一张圆形纸片对折两次
，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心 。圆心一般用字母O表示
。它到圆上任意一点的距离都相等．

3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示 。把圆规两脚分开 ，两脚之间的距离就是圆的半径。

4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小
。

5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示 。

6．在同一个圆内
，所有的半径都相等，所有的直径都相等
。

7．在同一个圆内 ，有无数条半径
，有无数条直径。

8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍 ，半径的长度是直径的一半 。

用字母表示为：d＝2r r ＝ d

用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2

9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长
。

10．圆的周长总是直径的3倍多一些
，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示 。圆周率是一个无限不循环小数
。在计算时 ，取 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之 。

11．圆的周长公式：C= d 或C=2 r

圆周长= ×直径 圆周长= ×半径×2

12
、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积
。

13．把一个圆割成一个近似的长方形
，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（ r）表示 ，宽相当于圆的半径
，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽 ，所以圆的面积= r×r。圆的面积公式：S＝ r? 。

14．圆的面积公式：S＝ r?　或者S= （d 2）? 或者S= （C 2）?

15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

16．在一个长方形里画一个最大的圆
，圆的直径等于长方形的宽
。

17．一个环形，外圆的半径是R ，内圆的半径是r
，它的面积是S= R?－ r?　或　S= （R?－r?）。

（其中R＝r＋环的宽度．）

19．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径 。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径 ，而圆周长的一半没有直径
。

半圆的周长公式：C＝ d 2＋d　或　C＝ r＋2r

圆周长的一半= r

20．半圆面积＝圆的面积 2公式为：S＝ r? 2

21．在同一个圆里
，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍 。

例如：在同一个圆里 ，半径扩大4倍
，那么直径和周长就都扩大4倍，而面积扩大16倍
。

22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比 ，而面积比等于以上比的平方。

例如：两个圆的半径比是2：3
，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：3，而面积比是4：9 。

圆周长和直径的比是 ：1 ，比值是

圆周长和半径的比是2 ：1，比值是2

23．当一个圆的半径增加a厘米时
，它的周长就增加2 a厘米；

当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加 a厘米
。

24．在同一圆中 ，圆心角占圆周角的几分之几
，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几．

25．当长方形，正方形 ，圆的周长相等时
，圆的面积最大，长方形的面积最小

26．扇形弧长公式： 扇形的面积公式：　S= r? （n为扇形的圆心角度数 ，r为扇形所在圆的半径）

27．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折
，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴 。

28． 有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形 、等腰梯形
、扇形、半圆
。

有2条对称轴的图形是：长方形

有3条对称轴的图形是：等边三角形

有4条对称轴的图形是：正方形

有无数条对称轴的图形是：圆 、圆环。

29．直径所在的直线是圆的对称轴 。

第二单元　百分数应用题

（一）百分数的基本概念

1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数 ，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比
。

百分数表示两个数之间的比率关系
，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。

2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几 。

例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％
。

3．百分数通常不写成分数形式 ，而在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数
、整数，可以大于100
，小于100或等于100 。

4．小数与百分数互化的规则：

把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位 ，同时在后面添上百分号；

把百分数化成小数
，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位
。

5．百分数与分数互化的规则：

　把分数化成百分数 ，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数）
，再把小数化成百分数；

　把百分数化成分数，先把百分数改写成分数 ，能约分的要约成最简分数。

（二）百分数应用题

百分数应用题（一）

求增加百分之几？减少百分之几？

公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1

减少百分之几=减少的部分÷单位1

例如：1、45立方厘米的水结成冰后
，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？

解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1 ，先确定单位1是水
，已经知道是45：增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几 。

计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米

第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米

第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%

2 、45立方厘米的水结成冰后 ，体积增加了5立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？

解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1
，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几
。

计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米

第二步：增加的部分： 5立方厘米

第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%

3
、水结成冰后 ，体积增加了5立方厘米
，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？

解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1 ，先确定单位1是水
，不知道但可以根据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米 ”知道水是少的 ，冰是多的
，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米；；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几 。

计算步骤：第一步：单位1：水：50—5=45立方厘米

第二步：增加的部分： 5立方厘米

第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%

4、“减少百分之几与增加百分之几
”的解题方法完全相同
。

5 、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几 ”

“增长百分之几“等。

与减少百分之几相同的还有“少百分之几
”“降低百分之几”“节约百分之几 ”等 。

百分数应用题（二）

比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。

例如1
、矣得小学去年有80名学生 ，今年的学生人数比去年增加了25%
，今年有多少名学生？

解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）

算式：80×（1+25%）

2、矣得小学去年有80名学生 ，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生？

解题思路：单位1去年已经知道用乘法
，减少用（1-25%）

算式：80×（1-25%）

3 、矣得小学今年有100名学生，比去年增加了25% ，去年有多少名学生？

解题思路：单位1去年不知道用除法
，增加用（1+25%）

算式：100÷（1+25%）

4、矣得小学今年有100名学生，比去年减少了25% ，去年有多少名学生？

解题思路：单位1去年不知道用除法
，增加用（1-25%）

算式：100÷（1-25%）

百分数应用题（三）列方程解百分数应用题

1
、小明看一本书，第一天看了全书的25% ，第二天看了全书的20%
，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？

解题思路：单位1一本书不知道 ，可以选用方程或除法来解答
。

根据“第一天比第二天多看20页
”可以知道第一天是多的
，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页。

等量关系式：第一天—第二天=20页

方法1：解：设这本书一共有X页 。

由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25% ，用X可以表示为25%X，由“第二天看了全书的20% ”可以知道第二天等于全书乘以20%
，用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20页”可以列方程为：25%X—20%X=20

方法2：“第一天比第二天多看20页
”可以知道20页是第一天和第二天的差
。要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。

列算式为：20÷(25%—20%)

2、小明看一本书，第一天看了全书的25% ，第二天看了全书的20%
，两天共看了20页，这本书一共有多少页？

等量关系式：由“两天共看了20页”可以知道第一天+等二天=20页 。

方程法：解：设这本书共有X页 ，则第一天为25%X
，第二天为20%X
。

方程列为：25%X+20%X=20

算术法：由“两天共看了20页 ”可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。

列算式为：20÷(25%+20%)

3 、小明看一本书 ，第一天看了全书的25%
，第二天看了全书的20%，还剩20页 ，这本书一共有多少页？

等量关系式：一本书—第一天—第二天=20页

方程法：解设这本书一共有X页
，则第一天为25%X，第二天为20%X 。

列方程为：X—25%X—20%X=20

算术法：20÷（1- 25%X- 20%）

4
、小明看一本书 ，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页
，还剩20页，这本书一共有多少页？

方程法：解设这本书一共有X页 ，则第一天为25%X
，第二天为（25%X+10）页
。

列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20

百分数应用题（四）利息的计算

1.本金：存入银行的钱叫做本金。

2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息 。

利息=本金×利率×时间

3．2008年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税
。国债的利息不纳税。2008年10月9日以后免收利息税 。所以如无特殊说明 ，就不在计算利息税。

4．利率：利息与本金的比值叫做利率
。

5．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝利息×（1－20％）

6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间

7．本息：本金与利息的总和叫做本息。

8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额 。

9．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率
。

10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率

例如：李老师把2000元钱存入银行
，整存整取五年，年利率按4.14%计算 ，到期时
，李老师的本金和利息共有多少元？

解题思路：要求“本金和利息共有多少元
”应该用本金的2000元加上利息的。

解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息

利息：2000×4.14%×5=414元

第二步：本金+利息：2000+414=2414元 。

例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年 ，年利率按4.14%计算
，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%来上税）

解题思路：要求“本金和利息共有多少元 ”应该用本金的2000元加上利息的
。

解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间
”算利息

利息：2000×4.14%×5=414元

第二步：算税后利息：414×（1—20%）=331.2元

本金+利息：2000+331.2=233.2元。

第三章 图形的变换

1、 图形变换的三种方法：

第一种平移：要说明向什么方向（上 、下
、左、右）平移几个 。

第二种旋转：要说明绕哪个点 ，顺时针还是逆时针，旋转多少度（90度 、180度
、270度）

第三种作对称图形：要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形
。

2、比赛场次 、握手次数的计算

第一步：首先要算出有多少个人（或多少支队伍）进行比赛。有多少个人进行握手 。

第二步：计算比赛场次
、握手次数
。如果是5人
，从1加到4，如果是6人 ，从1加到5
，如果是8人，从1加到7 ，如果是100人
，从1加到99.

2、 计算起跑线。

假如：第一道的弯道半径是36米，每个道的跑道宽度是1.2米

那么：第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2 。

第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2

第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度1.2米+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2

第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2+1.2

不同的两个道的起跑点相差多少米的算法：第一步：先算出要跑几圈。第二步：计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长
。第三步：有两个道的圆周长相减 ，就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米。第四步：用这个相差数×要跑的圈数.

第四单元 比的认识

（一）比的基本概念

1．两个数相除又叫做两个数的比 。比的前项除以后项所得的商
，叫做比值
。

2．比值通常用分数 、小数和整数表示。

3．比的后项不能为0 。

4．同除法比较，比的前项相当于被除数 ，后项相当于除数
，比值相当于商；

5．根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子 ，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值
。

6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外）
，比值不变。

（二）求比值

1、求比值：用比的前项除以比的后项

（三）化简比

1
、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比 。

（四）比的应用

1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和 ，这两个或几个数量的比
，求这两个或这几个数量是多少？

例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7 ，男女生各有多少人？

题目解析：60人就是男女生人数的和
。

解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人

第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。

2 、比的第二种应用：已知一个数量是多少
，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？

例如：六年级有男生25人 ，男女生的比是5：7
，求女生有多少人？全班共有多少人？

题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量 。

解题思路：第一步求每份：25÷5=5人

第二步求女生： 女生：5×7=35人
。 全班：25+35=60人

3
、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比 ，求这两个或这几个数量是多少？

例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人）
，男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？

7、要求量=已知量×

7 、比在几何里的运用：

（1）已知长方形的周长 ，长和宽的比是a：b。求长和宽
、面积 。

长=周长÷2× 宽=周长÷2×面积＝长×宽

（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽 、高的比是a：b：c。求长
、宽、高 、体积

长=棱长和÷4× 宽=棱长和÷4×

高=棱长和÷4×　体积＝长×宽×高

（3）已知三角形三个角的比是a：b：c
，求三个内角的度数
。

三个角分别为：

180×180×180×

（4）已知三角形的周长，三条边的长度比是a：b：c ，求三条边的长度。

三条边分别为：

周长×周长×周长×

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